亳州成人高考专升本《高等数学一》考点笔记（4）

导数应用的考点

考点1 函数单调性的判定

设y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.

1.若对于任意的x∈(a,b)，有f'(x)>0，则y=f(x)在[a,b]上为单调增加的函数.

2.若对于任意的x∈(a,b)，有f'(x)<0，则y=f(x)在[a,b]上为单调减少的函数.

考点2 函数取得极值的必要条件和充分条件

1.必要条件

设函数y=f(x)在点x₀处可导，且在点x₀处取得极值，则在点x₀处必有f'(x₀)=0或f'(x₀)不存在，即x₀必为函数f(x)的驻点或不可导点.

反之不成立，即函数f(x)的驻点或不可导点并不一定就是极值点.

2.第一种充分条件

设函数y=f(x)在点x₀的某一邻域内可导，且f'(x₀)=0(或在点x₀处f'(x)不存

在).若在此邻域内：

(1)当x0，而当x>x₀时，f'(x)<0，则f(x)在点x₀处取得极大值f(x₀);

(2)当x0，则f(x)在点x₀处取得极小值f(x₀);

若当xx₀时，f'(x)不改变符号，则f(x)在点x₀处不取得极值.

3.第二种充分条件

设函数y=f(x)在点x₀处具有二阶可导，且f'(x₀)=0，f''(x₀)≠0.若

(1)f”(x₀)<0，则f(x)在点x₀处取得极大值f(x₀).

(2)f”(x₀)>0，则f(x)在点x₀处取得极小值f(x₀).

(3)f”(x₀)=0，则函数f(x)在点x₀处可能取得极值，也可能不取得极值，这时需要用第一种充分条件判定.

考点3 最大值与最小值的求法

闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)必定存在最大值与最小值.

求最大值与最小值的一般方法是：

1.求出f(x)在(a,b)内的所有驻点、导数不存在的点.

2.求出上述各点及区间两个端点x=a，x=b处的函数值.

3.进行比较，其中最大的数值即为f(x)在[a,b]上的最大值，而其中最小的数值即为

f(x)在[a,b]上的最小值.

考点4 曲线凹凸性的判定

设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导.

1.若在(a,b)内有f”(x)>0，则曲线y=f(x)在(a,b)内为凹的.

2.若在(a,b)内有f”(x)<0，则曲线y=f(x)在(a,b)内为凸的.

考点5 曲线拐点的判定

对于在(a,b)内的连续曲线弧y=f(x)，判定拐点的一般方法是：

1.求出该函数的二阶导数，并求出使二阶导数等于零的点，以及二阶导数不存在的点.

2.判定上述各点两侧，函数的二阶导数是否异号，如果f''(x)在x₀的两侧异号，则(x₀,f(x₀))为曲线弧y=f(x)的拐点.

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